Волны, образующиеся на свободной поверхности воды, приводят в движение соприкасающийся с ними воздух. В большинстве случаев массой этого воздуха можно пренебречь по сравнению с массой жидкости. Тогда давление на свободной поверхности жидкости будет равно атмосферному давлению ро Наблюдения показывают, что при простейшем волновом движении отдельные частицы свободной поверхности воды описывают траектории, приближенно совпадающие с окружностью. В системе отсчета, движущейся вместе с волнами со скоростью их распространения, волновое движение является, очевидно, установившимся движением.

Пусть скорость распространения волн равна с, радиус окружности, описываемой частицей воды, расположенной на свободной поверхности, равен г, а период обращения этой частицы по своей траектории равен Т. Так как разность высот между наивысшим и наинизшим положениями точек свободной поверхности равна h = 2r, то, применяя уравнение Бернулли к линии тока, расположенной на свободной поверхности, мы получим:

w\-w\ = 2gh = 4gr,

Радиус г в эту формулу не входит, следовательно, скорость распространения волн не зависит от высоты волн. При распростраении волн гребень волны продвигается за время Т на расстояние А, называемое длиной волны, следовательно, Х = сТ.

Таким образом, для волн на поверхности воды скорость их распространения, в отличие от звуковых волн, сильно зависит от длины волны. Длинные волны распространяются быстрее, чем короткие. Волны с разной длиной могут налагаться друг на друга без заметного взаимного возмущения. При этом короткие волны как бы приподнимаются длинными волнами, но затем длинные волны уходят вперед, а короткие остаются позади них.

Линии тока в системе отсчета, неподвижной относительно невозмущенной воды,. Из расположения линий тока видно, что скорость движения воды очень быстро убывает с увеличением глубины, а именно, пропорционально уменьшению величины е А , следовательно, на глубине, равной длине волны, скорость составляет только У500 скорости на свободной поверхности. Точная теория показывает, что формула справедлива только для низких волн, причем независимо от их высоты. Для высоких волн скорость с в действительности несколько больше того значения, которое дает формула (62). Кроме того, при высоких волнах траектории частиц воды, расположенных на свободной поверхности, получаются незамкнутыми: вода на гребне волны уходит вперед на большее расстояние, чем на то, на которое она возвращается назад во впадине волны (см. правую часть рис. 81). Следовательно, при высоких волнах происходит перенос воды вперед.

Для волн с небольшой длиной важным фактором является, кроме силы тяжести, также поверхностное натяжение. Оно стремится сгладить волновую поверхность, и поэтому скорость распространения волн увеличивается. Для длинных волн преобладающую роль играет первый член под знаком корня, а для коротких волн, наоборот, второй член. Волны, длина которых больше Ai, называются гравитационными, а волны, длина которых меньше Ai, — капиллярными.

От скорости перемещения гребней волн, называемой фазовой скоростью (выше мы ее называли скоростью распространения волн и обозначали через с), следует отличать скорость распространения группы волн, называемую групповой скоростью и обозначаемую через с. Проще всего разъяснить смысл этого понятия на примере движения, возникающего в результате наложения двух волн, имеющих равные амплитуды, но немного отличающихся своей длиной. Пусть мы имеем синусоидальную волну
у = Asm(/ix — ut), где А есть амплитуда, t — время, а ц и v — некоторые коэффициенты. При увеличении х на =^- или t на у синус принимает прежнее значение, следовательно, величина
7Г=А есть период колебаний. Если цх — vt = const, т. е. если х = const + Ц-t.

то аргумент синуса не зависит от времени, поэтому не зависит от времени и ордината у. Это означает, что вся волна, не изменяя своей формы, перемещается вправо со скоростью Наложим на эту волну вторую волну у' = A sm.(n'x — v't), т. е. волну с той же амплитудой А, но с несколько иными значениями //иг/. Результирующим движением будет у + у' = A[sin(/ix — vt) + s'm(ii'x — v't)].

В тех точках оси х, в которых фазы обоих колебаний совпадают, амплитуда равна 2А, в тех же точках, в которых фазы обоих колебаний противоположны, амплитуда равна нулю. Такое явление называется биением. Группа волн кончается в той точке, где косинус делается равным нулю. Таким образом, группы волн распространяются со скоростью с, равной половине фазовой скорости, иными словами, гребни в группе волн перемещаются со скоростью, в два раза большей, чем сама группа волн; на заднем конце группы все время возникают новые волны, а на переднем конце группы они исчезают. Это явление очень легко наблюдать на волнах, вызванных падением камня в неподвижную воду.
Все сказанное относится не только к волнам на поверхности воды, но и к любым другим волнам, фазовая скорость которых зависит от длины волны.