Рассматриваемый поток жидкости, очевидно, неустановившийся, так как вместе с перемещением тела перемещается и поле скоростей в жидкости. Но если это течение рассматривать в системе отсчета, относительно которой тело покоится, т. е. в системе отсчета, движущейся вместе с телом, то в такой системе отсчета жидкость обтекает тело, и поток будет установившимся. Математически такой установившийся поток определяется потенциалом скоростей Будем сближать между собой источник и сток, причем одновременно будем увеличивать их мощность в таком же отношении, в каком уменьшается их расстояние друг от друга. В пределе мы получим поток, называемый диполем. При таком сближении источника и стока поток, переходит в поток около шара . Картина действительного обтекания шара имеет вследствие влияния трения несколько иной вид.

с) Плоское движение. Если при движении жидкости все линии тока представляют собой плоские кривые, расположенные в параллельных плоскостях, и скорость течения во всех точках каждой прямой, перпендикулярной к семейству параллельных плоскостей, одинаковая, то такое движение жидкости называется плоскопараллельным, или плоским движением. Если совместить одну из параллельных плоскостей с плоскостью ху, то из трех составляющих скорости и, v, w последняя будет равна нулю, а первые две будут функциями только от ж и у.

В математической гидродинамике теория плоских потоков разработана особенно полно, так как существует мощный математический метод, облегчающий исследование таких потоков. Оказывается, что и вещественная, и мнимая части любой аналитической функции комплексной переменной х + iy всегда удовлетворяют уравнению Лапласа (41) и поэтому могут рассматриваться как потенциалы. В самом деле, пусть функция F(z) = Ф + г'Ф есть аналитическая функция комплексного переменного z = х + iy, причем Ф есть вещественная часть функции, а Ф — мнимая часть.

Для того чтобы это равенство соблюдалось, должны совпадать между собой отдельно его вещественные части и отдельно мнимые части.Из соотношений легко видеть, что оба эти потока в каждой точке ортогональны друг к другу и имеют здесь равные по абсолютной величине скорости.
Абсолютная величина скорости и в первом и во втором потоке равна \/и2 + v2. Вследствие ортогональности обоих потоков линии равного потенциала одного потока являются линиями тока другого (скорость всегда направлена по нормали к поверхности равного потенциала).

Функция, значения которой остаются постоянными на линиях тока, называется функцией тока. Следовательно, если функция Ф выбрана в качестве потенциала скоростей, то Ф будет функцией тока. Функция тока имеет еще другое наглядное значение: разность ее значений в двух точках равна объему жидкости, протекающему в единицу времени между обеими точками в слое с толщиной, равной единице. Рассмотрим несколько примеров плоских потоков линиями тока Ф = const являются равнобочные гиперболы, асимптотами которых служат оси х и у. Плоский источник определяется функцией F = blnz.

Так как z = х + iy = r (cos ip + sin ip) = rew, где г и (р суть полярные координаты, то lnz = In r + i(f,
Таким образом, линиями тока Ф = const действительно являются прямые ip, исходящие из начала координат. Линиями равного потенциала Ф = const являются окружности г = const.
В качестве третьего примера рассмотрим поток вдоль двух пересекающихся между собой стенок. Такой поток, если точка пересечения стенок расположена в начале координат, а ось х направлена вдоль одной из стенок,

Она принимает нулевое значение Ф = О, т.е. совпадает со стенкой или, если заменить n указанным выше его значением, при (р = 0, а, 2а, ...

Таким образом, при разных значениях п = ^ мы будем иметь потоки вдоль двух стенок, пересекающихся между собой под углами а. тока таких потоков, получающихся для значений а = j, т£, 7г, ^7г и 2-л\ Как легко видеть, для углов а < п скорость течения в начале координат равна нулю, а для углов а > 7г она равна бесконечности.

Потоки, определяемые функцией F = Агп при разных значениях п Поток около круглого цилиндра радиуса а в направлении, перпендикулярном к оси цилиндра, определяется функцией

F = V (z+%

Вычисляя функцию тока Ф, мы получим: Ф = V sin у? I r Она равна нулю на оси х, где sin у? = 0, и на окружности радиуса г, где г — ^г = 0. Картина линий тока получается очень похожей на картину линий тока при обтекании шара. Можно было бы привести еще много других примеров плоских потоков, определяемых функциями комплексной переменной, но мы ограничимся разобранными. В теории функций комплексной переменной существует метод, позволяющий из известного потока около какого-нибудь тела получать новые потоки около других тел. Будем рассматривать две комплексные переменные z = х + гу и ( = £ + щ. Каждой паре значений х, у соответствует точка в плоскости ху, а каждой паре значений £, г] — точка в плоскости £г).

Всякая функция устанавливает между г и ( соответствие такого рода, что каждая пара значений £, ц связывается с парой значений х, у, следовательно, каждая точка плоскости £г) связывается с точкой плоскости ху. Такое соответствие между плоскостями £г/ и ху называют отображением. При отображении каждая линия плоскости ху переходит в некоторую линию плоскости £т), точка пересечения двух линий плоскости ху — в точку пересечения соответствующих линий в плоскости £т]. Производные от вещественной и мнимой частей функции /(£) удовлетворяют соотношениям такого же вида, как и равенства.

Прямоугольная сетка одной плоскости отображается также в прямоугольную, но в общем случае криволинейную сетку другой плоскости, причем масштаб отображения в обоих направлениях получается одинаковым. Это означает, что в бесконечно малых частях отображение происходит с соблюдением подобия. Поэтому такого рода отображения называются конформными отображениями. Примеры плоских потоков, разобранные выше, одновременно являются и примерами конформных отображений, если только вместо Ф и Ф написать £ и ц. Последний из примеров показывает, что функция

F = v(z+4)

отображает полуплоскость ФФ на область плоскости ху, ограниченную двумя отрезками оси х, простирающимися от —оо до —а и от +а до +оо, и половиной окружности радиуса а.
Важное значение конформных отображений для гидродинамики состоит в следующем. Если F есть аналитическая функция от z, a z есть аналитическая функция от (, то F есть аналитическая функция также и от (. Это означает, что в плоскости £ функция F = Ф + г'Ф также определяет некоторый поток. Следовательно, если в плоскости ху имеется какой-нибудь поток, что всякое конформное отображение плоскости ху на плоскость £г) дает некоторый новый поток. Такой способ получения новых потоков из заданного потока может быть повторен сколько угодно раз.

Существуют различные методы, позволяющие конформно отобразить область плоскости ^т/, лежащую вне контура, близкого по форме к профилям современных крыльев самолета, на область плоскости ху, лежащую вне окружности. Картина линий тока и динамические соотношения при обтекании окружности известны, поэтому, зная вид отображающей функции, можно из этой картины легко получить все, что относится к обтеканию профиля крыла.