Полагая в уравнении ds последовательно равным dx, dy и dz, мы найдем соотношения, связывающие составляющие скорости и, v, w с потенциалом скоростей Ф Это уравнение встречается также в других областях физики, в частности, в электростатике — в учении об электростатическом потенциале, где оно выполняется в таких местах поля, в которых отсутствуют заряды и диэлектрическая постоянная имеет постоянное значение. Поэтому при решении гидродинамических задач могут быть непосредственно использованы решения уравнения, известные из электростатики, например, решения для точечного заряда, для диполя и т. д.

Для практических приложений важное значение имеет следующее свойство уравнения Лапласа: сумма или разность двух его решений также является решением, что непосредственно следует из линейности этого уравнения. При таком «наложении» двух потенциалов скорости складываются по закону параллелограмма. Заметим, что уравнение Лапласа выполняется также для течения вязкой жидкости между двумя параллельными пластинками, поставленными близко друг от друга. Такое течение часто используется для демонстрации линий тока потенциального течения. Хотя в действительности оба течения формируются разными силами, тем не менее линии тока того и другого течения при надлежащих условиях опыта весьма точно совпадают.

Рассмотрим несколько примеров потенциального течения. а) Трехмерный поток перед пластинкой. Одним из самых простых выражений для потенциала скоростей будет следующее:

Ф=±(ах2 + by2 + cz2).

Подставляя это выражение Ф в уравнение Лапласа, мы получим:

а + Ь+с = 0.

Следовательно, для того чтобы функция удовлетворяла уравнению Лапласа, коэффициенты а, Ь и с должны удовлетворять условию.

Тогда мы получим:

Ф=1(х2 + у2-2г2)

откуда найдем составляющие скорости течения:

и = ах, v = ay, w = —2az.

Очевидно, что поток, определяемый этим потенциалом, симметричен относительно оси вращения, совпадающей в осью z. Линии тока в плоскости yz, где х = 0, определяются диференциальным уравнением

U. — Ш. — 2z dy~ v ~ У

интегрируя которое, мы получим:

In z = const — 2 In у,

или

у2 z = const.

Это уравнение изображает так называемую кубическую параболу, для которой оси z и у являются асимптотами. Таким образом, потенциал скоростей определяет трехмерный, симметричный относительно оси, поток перед пластинкой. Следовательно, максимум давления получается в точке х = у = z = 0, т. е. в начале координат. Поверхности равного давления представляют собой эллипсоиды с осями, длины которых относят ся как 1 : 2 : 1

расстояние от начала координат, удовлетворяет уравнению Лапласа, а потому определяет потенциальное течение. Так как поверхности Ф = const представляют собой концентрические сферы и так как скорость течения w перпендикулярна к поверхностям Ф = const, то в потоке, определяемом потенциалом скоростей, скорость во всех точках направлена вдоль радиуса Поток, определяемый потенциалом скоростей Ф = +р, точником, а поток, определяемый потенциалом Ф = — ^, — стоком. Линиями тока источника являются прямые, исходящие из начала координат, а линиями тока стока — прямые, сходящиеся в начале координат. И в источнике и в стоке скорость в начале координат равна бесконечности.

В источнике это количество возникает в центре, а в стоке, наоборот, исчезает в центре. Величина Q называется мощностью источника или стока. Конечно, осуществить такое течение физически нельзя. Однако если в какую-нибудь точку О объема, занятого жидкостью, подвести узкую трубочку и отсасывать через нее жидкость, то в окрестности точки О возникнет поток, приближенно совпадающий со стоком.

Источники и стоки играют важную вспомогательную роль при гидродинамических расчетах. Например, если в жидкости движется удлиненное тело в направлении своей продольной оси, то его передний конец вытесняет перед собой жидкость, к заднему же концу, по мере его продвижения вперед, жидкость притекает. Следовательно, около концов тела движение жидкости такое, как если бы около переднего конца был источник, а около заднего конца — сток.

В самом деле, потенциал скоростей получаемый наложением источника и стока, дает именно такую картину течения жидкости, правда при условии, что концы тела имеют определенную, хорошо округленную форму. Однако указанный потенциал дает достаточно хорошее приближение и при другой форме концов тела. Если тело движется со скоростью V, а площадь его поперечного сечения равна F, то количество вытесняемой телом и вновь притекающей к телу жидкости можно положить равным Q = FV.