При трехмерном рассмотрении задач о движении жидкостей вместо одного дифференциального уравнения движения получаются три дифференциальных уравнения. Выведем эти уравнения, по-прежнему исходя из основного закона динамики: сила равна массе, умноженной на ускорение. Выделим в движущейся жидкости маленький параллелепипед с ребрами dx, dy, dz, параллельными осям прямоугольной системы координат ж, у, z. Объем этого параллелепипеда равен dxdydz, а масса равна рdxdydz. В направлении оси х разность давлений на грани, Следствия из уравнения Бернулли. При помощи уравнения Бернулли очень просто решаются многие задачи о движении жидкости. Приведем три особенно важных примера.

а) Истечение из открытого сосуда под действием силы тяжести. В выходном отверстии В линии тока направлены перпендикулярно к выходному поперечному сечению. Внутри же сосуда все линии тока начинаются, очевидно, на свободной поверхности жидкости А, уровень которой по мере вытекания жидкости постепенно понижается. Частицы жидкости на свободной поверхности А находятся под атмосферным давлением ро.

Под таким же давлением находятся частицы жидкости и в свободной струе В.1 Если свободная поверхность А велика по сравнению с площадью F выходного отверстия В, то скорость WA частиц жидкости на свободной поверхности столь мала, что квадрат ее будет ничтожно мал по сравнению с квадратом скорости WB В ВЫХОДНОМ отверстии. Таким образом, скорость жидкости в выходном отверстии такова, как если бы вытекающие частицы жидкости свободно падали с высоты h. Равенство (16) выражает собой так называемую теорему Торичелли.

Поперечное сечение струи, вытекающей из сосуда, вообще не совпадает с поперечным сечением выходного отверстия. Так, например, при истечении через круглое отверстие в тонкой стенке площадь поперечного сечения струи составляет от 0,61 до 0,64 площади отверстия. Это явление, называемое сжатием струи, возникает вследствие того, что жидкость внутри сосуда притекает к отверстию в радиальном направлении и, достигнув края отверстия, не может здесь внезапно изменить свое направление. Отношение площади поперечного сечения струи к площади поперечного сечения отверстия называется коэффициентом сжатия струи и обозначается буквой а. Если края отверстия закруглены, то линии тока перед истечением имеют возможность постепенно изменить свое направление на параллельное оси отверстия. Для такого отверстия коэффициент сжатия равен приблизительно единице.

При истечении из некруглого отверстия в тонкой стенке коэффициент сжатия мало отличается от своего значения для круглого отверстия, но зато форма струи получается, как правило, довольно сложной. Так, например, при истечении из квадратного отверстия получается струя с поперечным сечением в виде тонкого креста, а струя, вытекающая из прямоугольного отверстия, принимает вид ленты, перпендикулярной к длинной стороне прямоугольника.

Истечение из закрытого сосуда под действием внутреннего давления. Пусть в закрытом сосуде имеет место давление pi, а во внешнем пространстве — атмосферное давление р0, причем pi > p0. Для линии тока, идущей горизонтально, ZA = ZB- Скоростью около стенки в точке А вследствие ее малости можно
Формула позволяет вычислить то наибольшее значение скорости, при движении с которой газ можно рассматривать практически как несжимаемую жидкость.

Очевидно, эта предельная скорость w± зависит от того, какое изменение плотности принимается за допустимое при оценке несжимаемости газа; следовательно, скорость w\ тем меньше, чем выше требования к точности. Примем за допустимое изменение плотности величину —J- = 1%, т.е. 0,01. При адиабатическом изменении состояния плотность связана с давлением или, так как удельный объем с обратно пропорционален плотности р, Изменению плотности Ар соответствует изменение давления Следовательно, при скоростях движения воздуха, не превышающих 48 м/сек, воздух можно считать практически несжимаемым при условии, что допускается изменение плотности на 1%. Если допускается изменение плотности на 10%, то, повторяя вычисления, мы найдем для предельной скорости значение w\ к, 150 м/ сек.

Таким образом, действие изменения плотности проявляется двояким образом: кинематически оно изменяет поперечное сечение жидких струек, а динамически — величину давления.
Подпор жидкости перед препятствием. Когда равномерный поток жидкости встречает на своем пути какое-нибудь препятствие, он расходится во все стороны и обтекает препятствие. При этом непосредственно перед препятствием происходит подпор, т.е. замедление потока.

В центре области подпора, в так называемой критической точке, поток полностью останавливаетСЯ; скорость его здесь равна нулю. Пусть скорость потока вдали от препятствия равна w0- Рассмотрим линию тока, проходящую через критическую точку. Обозначим давление в критической точке через р\, а давление в невозмущенной жидкости, т.е. вдали от препятствия, на одинаковой высоте с критической точкой, — через ро.