Рассмотрим теперь, что происходит с очень маленькими замкнутыми жидкими линиями. Если эти линии лежат в области потенциального движения, то циркуляция вокруг них равна нулю. Если же они находятся внутри вихревой нити, то в общем случае циркуляция вокруг них не равна нулю, причем, согласно теореме Томсона, она все время остается постоянной. Отсюда непосредственно следует, что вихревая нить состоит все время из одних и тех же частиц жидкости. Так как количество движения и энергия самой вихревой нити малы по сравнению с количеством движения и энергией окружающего потенциального потока, то движение вихревой нити в основном управляется движением потенциального потока (см. ниже, пример первый).

Правда, геометрически потенциальное движение можно свести к циркуляции вокруг оси вихревой нити, что для расчетов обычно удобнее. При таком представлении движение каждого элемента вихревой нити обусловливается влиянием всех остальных элементов нити, а все потенциальное движение вызывается вихревой нитью. Однако такое представление следует рассматривать только как геометрическое. С точки зрения энергетической преобладающее влияние на движение вихревой нити оказывает внешнее движение.

Формулы для расчета поля скоростей вокруг вихревых нитей, определенным образом расположенных, полностью совпадают с электродинамическими формулами, выражающими закон Био-Савара. Вихревые нити соответствуют электрическим проводникам, циркуляция — силе тока, поле скоростей — магнитному полю и угловая скорость вращения — плотности тока. Сила тока, подобно циркуляции, одинакова вдоль всего проводника, а плотность тока обратно пропорциональна площади его поперечного сечения. Для вихревой нити, согласно формуле , при sin a = 1 циркуляция равна
Г = 2wF.

Следовательно, в тех местах, где поперечное сечение вихревой нити меньше, угловая скорость вращения больше, и наоборот. Такая же связь между F и w существует и во времени: если какой-либо отрезок вихревой нити вытягивается, то угловая скорость вращения возрастает обратно пропорхщонально поперечному сечению. При этом длина отрезка вихревой нити увеличивается также обратно пропорционально поперечному сечению, так как объем нити остается неизменным. Следовательно, угловая скорость вращения нити изменяется в точности пропорционально изменению длины отрезка нити.

Указанные факты и составляют основное содержание теорем Гельмгольца. Рассмотрим несколько примеров движения вихревых нитей. а) Прямолинейные параллельные вихревые нити в жидкости, в остальных местах свободной от вращения. Как уже было сказано, вихревая нить с циркуляцией (или напряженностью) Г создает вокруг себя поле скоростей. В каждой точке этого поля скорость перпендикулярна к оси вихря и к радиусу г, соединяющему ось вихря с рассматриваемой точкой поля,
Если имеется несколько вихревых нитей, то отдельные поля скоростей налагаются друг на друга, и каждая вихревая нить принимает участие в том движении, которое возникает в занимаемом ею месте под действием других нитей.

Так, например, в случае двух параллельных вихревых нитей обе они вращаются вокруг оси, параллельной осям обеих нитей. Для определения положения этой оси следует отложить вдоль осей обеих нитей отрезки, пропорциональные их напряженностям Г, и, рассматривая эти отрезки как силы, сложить их. Линия действия равнодействующей даст положение искомой оси. Отрезки, пропорциональные напряженностям Г, следует отложить в одну сторону, если оба вихря имеют циркуляции одного знака, и в разные стороны, если циркуляции вихрей противоположны. В первом случае ось вращения расположена между вихрями, а во втором случае — по одну сторону от них.

Две параллельные прямолинейные вихревые нити равной и противоположной по знаку циркуляции образуют пару вихрей (такое название дано по аналогии с парой сил). Пара вихрей совершает прямолинейное поступательное движение в направлении, перпендикулярном к кратчайшей прямой, соединяющей оба вихря, В системе отсчета, покоящейся относительно невозмущенной жидкости, картина линий тока вихревой пары имеет вид. та же картина линий тока в системе отсчета, движущейся вместе с вихревыми нитями. Это легко наблюдать, если окрасить жидкость в том месте, где возникает пара вихрей.