Формулы, выведенные выше, пригодны только для волн на глубокой воде. Они еще достаточно точны, если глубина воды равна половине длины волны. При меньшей глубине частицы воды на поверхности волны описывают не круговые траектории, а эллиптические, и зависимость между длиной и скоростью распространения волн получается более сложной, чем для волн на глубокой воде. Однако для волн на очень мелкой воде, а также для очень длинных волн на средней воде только что указанная зависимость принимает опять более простой вид. В обоих последних случаях вертикальные перемещения частиц воды на свободной поверхности весьма незначительны по сравнению с горизонтальными перемещениями. Поэтому можно опять считать, что волны имеют приблизительно синусоидальную форму.

Так как (траектории частиц представляют собой очень сплющенные эллипсы, то влиянием вертикального ускорения на распределение давления можно пренебречь. Тогда на каждой вертикали давление будет изменяться по статическому закону, и разности высот жидкости будут обусловливать практически только горизонтальные ускорения. Мы ограничимся здесь вычислениями лишь для случая движения «вала» воды, изображенного на рис. 84. Эти вычисления очень простые и в дальнейшем будут нами использованы для исследования распространения возмущения давления в сжимаемой среде
Пусть на поверхности воды над плоским дном распространяется со скоростью с справа налево вал шириной Ь, повышающий уровень воды от hi до h2.

Предположим, что до прихода вала вода находилась в покое. Скорость ее движения после повышения уровня обозначим через w. Эта скорость, отнюдь не совпадающая со скоростью с распространения вала, необходима для того, чтобы вызвать боковое перемещение объема воды в переходной зоне шириной b вправо и тем самым поднять уровень воды с высоты hi до высоты /i2- Примем для простоты, что наклон вала по всей его ширине постоянен скорость w достаточно мала, чтобы ею можно было пренебречь по сравнению со скоростью с распространения вала, вертикальная скорость подъема воды в области вала будет равна c(h2 - hi)

Условие неразрывности, примененное к слою воды толщиной в единицу (в направлении, перпендикулярном к плоскости рис. 84), приводит к уравнению:
h
Мы видим, что из этого уравнения ширина вала b выпала, следовательно, связь между скоростями w и с не зависит от ширины вала. Уравнение (72) остается верным, как нетрудно показать, и для вала с непрямолинейным профилем. В самом деле, разбивая такой вал на ряд узких валов с прямолинейными профилями и складывая уравнения неразрывности, составленные для каждого отдельного вала, мы получим справа опять величину c(h2 — hi), а слева — опять величину h2w, правда, при условии, что разностями уровней соседних узких валов можно пренебречь. при малой величине скорости w должна быть мала также разность высот hi — h2, следовательно, это уравнение применимо только к низким валам, и поэтому только что упомянутое условие вполне оправдано.

К кинематическому соотношению следует присоединить динамическое соотношение, которое легко вывести следующим образом. Объем воды шириной Ъ в области вала находится в ускоренном движении, так как частицы, составляющие этот объем, начинают свое движение на правом краю со скоростью нуль, а на левом краю имеют скорости w. Возьмем какую-нибудь частицу воды в области вала. Время, в течение которого над этой частицей проходит вал

Объем воды в области вала, если его толщину в направлении, перпендикулярном к плоскости рисунка, принять равной единице, имеет массу pbhm, где hm есть средний уровень воды в области вала. Разность давлений по обе стороны вала на одной и той же высоте составляет j(h2 — hi). Следовательно, полная сила давления, действующая на рассматриваемый объем воды в горизонтальном направлении, равна hmj(h2 — hi). Применяя основное уравнение динамики: сила равна массе, умноженной на ускорение, мы получим:
hmj(h2-hi) =pbhm, откуда, имея в виду, что -у = pg, найдем: wc = g(h2 - hi).

Таким образом, ширина вала Ь выпала и из этого уравнения. Аналогично тому, как это было сделано для уравнения, можно показать, что уравнение применимо также для вала с другим профилем при условии, что разность hi — h\ мала по сравнению с высотами h\ и hi-Для дальнейшего упрощения заменим в левой части уравнения й.2 на hm, что при малой величине разности ft,2 — h\ вполне допустимо, и разделим уравнение на уравнение; после сокращений мы получим:
с2 = ghm.