Эта величина, сопряженная с величиной и + iv, называется комплексной скоростью и обозначается через W. Очевидно, что w является аналитической функцией от z или от F, следовательно, отображение плоскости ФФ на плоскость uv также является конформным. Существуют такие случаи, когда, не зная функции F(z), определяющей поток в плоскости ху, можно тем не менее заранее, на основании заданных граничных и других условий, построить картину распределения комплексной скорости w в плоскости uv.

Так, например, при истечении жидкости через щель между двумя стенками (рис. 60а) заранее известны направления скорости на стенках аЪ и cd; далее известно, что на границах свободной струи скорость постоянна (это следует из уравнения Бернулли, так как на границах струи давление одинаковое); наконец, нам известны предположительные направления линий тока до истечения из щели, а также предположительное направление струи после истечения. На основании этих данных мы можем построить в плоскости uv картину распределения скоростей и рассматривать ее как некоторый поток. Если для этого потока функция

F = F(w),

его определяющая, известна, то можно путем обращения найти функцию

w = w{F).

Наконец, отделив вещественную и мнимую части комплексной переменной z, мы найдем для каждого значения Ф и Ф соответствующие им значения х. у, т.е. построим картину линий тока.
Приведенных примеров достаточно, чтобы дать представление о применении методов теории функции комплексной переменной в гидродинамике.

Потенциальное течение с циркуляцией. Подъемная сила крыла. Эффект Магнуса. Хотя при всех потенциальных течениях циркуляция в любой малой области потока равна нулю, тем не менее существуют такие потенциальные потоки, в которых циркуляция для всего потока в целом не равна нулю. Правда, необходимым условием для этого является многосвязность области, в которой происходит течение. Область пространства или плоскости называется многосвязной, если в ней можно провести такие замкнутые кривые, которые нельзя стянуть в точку, не разрывая их, т. е. не выходя за пределы области. Примерами двухсвязной области могут служить комната с колонной посредине или область вокруг кольца.

Пусть поток занимает многосвязную область, в каждой односвязной части которой частицы движутся без вращения, следовательно, в каждой такой части циркуляция равна нулю. Далее, пусть в рассматриваемой области циркуляция вдоль какой-нибудь кривой, которую нельзя стянуть в точку, равна Г. Тогда, как легко доказать, циркуляция вдоль любой другой кривой, которую нельзя стянуть в точку и которая получается из первой непрерывной деформацией, также равна Г. В § 10 мы определили потенциал в заданной точке как значение криволинейного интеграла при интегрировании между фиксированной точкой и заданной точкой.

Поскольку теперь в потоке существуют замкнутые кривые, вдоль которых циркуляция не равна нулю, а имеет некоторое значение Г, то это означает, что потенциал такого потока не является больше однозначным; наоборот, теперь он является многозначным, увеличиваясь при каждом обходе нестягиваемой в точку кривой на величину Г. Простейший плоский поток такого рода определяется потенциалом скоростей Ф = с р, где (р есть центральный угол. Этот потенциал, удовлетворяющий, как легко видеть, уравнению, возрастает при каждом полном обходе замкнутой нестягиваемой в точку кривой ((р2 =
Для г = 0 скорость получается равной бесконечности; поэтому физически такой поток возможен только вне некоторого ядра конечного диаметра. Ядро может быть образовано твердым телом или вращающейся жидкостью (движение которой не является потенциальным), наконец, оно может состоять из другой, более легкой жидкости, не принимающей участия в движении. Примером последнего случая является полый водяной вихрь, в котором вода совершает круговое движение вокруг ядра из воздуха. Под действием силы тяжести свободная поверхность такого полого вихря принимает форму. Уравнение этой поверхности получается путем применения уравнения Бернулли к двум линиям тока

Подобного рода воронки часто наблюдаются в реках, в ваннах (при спуске воды) и т.д. Во всех таких случаях мы имеем дело с потоками, в которых циркуляция уже существует и вызвана какими-то посторонними причинами. Другим примером потенциального потока с циркуляцией является поток около крыла самолета. Этот поток получатся из обычного потенциального потока без циркуляции путем наложения на последний циркуляционного потока, вследствие чего при обтекании крыла также возникает циркуляция.

С циркуляцией тесно связано возникновение подъемной силы крыла. Без всякого расчета легко видеть, что при наложении циркуляционного потока на обычный потенциальный поток (рис. 64) скорость последнего над крылом увеличивается, а под крылом, наоборот, уменьшается. Согласно уравнению Бернулли это означает, что над крылом давление уменьшается, а под крылом увеличивается, следовательно, возникает сила, действующая на крыло снизу вверх, т. е. подъемная сила. Кут-та (Kutta) и Н. Е. Жуковский независимо друг от друга1 нашли путем теоретических расчетов, что подъемная сила на единицу длины крыла равна А = pTV, где р есть плотность жидкости, Г — циркуляция, aV — относительная скорость крыла и жидкости. Следовательно, подъемная сила прямо пропорциональна циркуляции. Вывод указанной формулы будет дан ниже

Если движение начинается из состояния покоя, то, согласно теореме Томсона, в получившемся потоке циркуляция не может возникнуть даже в том случае, когда движение происходит в многосвязной области. В самом деле, в состоянии покоя циркуляция вдоль всякой замкнутой кривой равна нулю, поэтому она должна остаться равной нулю и после начала движения. В действительности же циркуляция, как правило, возникает, и причиной этого является образование поверхности раздела. Так, например, в спиральной камере, в первый момент начала движения образуется на остром ребре к поверхность раздела, из которой возникает вихрь такого же вида.

В дальнейшем вихрь отрывается от ребра и уплывает вместе с потоком, но вызванная им циркуляция остается в потоке на все время. Совершенно аналогичная картина наблюдается и при движении крыла. В начале движения поток под крылом огибает заднюю кромку крыла снизу вверх, вследствие чего здесь образуется поверхность раздела, превращающаяся в вихрь. В дальнейшем вихрь отрывается от крыла и уплывает вместе с потоком, но оставляет в нем циркуляцию, равную по абсолютной величине своей циркуляции, но противоположно направленную.

При этом вдоль жидких линий, заключающих внутри себя крыло и вихрь вместе, циркуляция остается равной нулю, как этого и требует теорема Томсона. Для того чтобы от присутствия крыла область пространства сделалась двухсвязной, необходимо, чтобы крыло с боков было ограничено двумя параллельными стенками или чтобы крыло простиралось в обе стороны до бесконечности. Для действительных крыльев ни одно из этих условий не соблюдается. Тем не менее циркуляция, без которой не может получиться подъемная сила, возникает и в этом случае. Она возникает вследствие отрыва вихрей, образующихся из поверхности раздела с поперечным скачком скорости Если на вращающийся круглый цилиндр набегает поток воздуха в направлении, перпендикулярном к оси цилиндра, то вокруг него возникает циркуляция такого же вида, как и вокруг крыла. В дальнейшем, мы увидим, что причиной возникновения этой циркуляции является трение.

Циркуляция вокруг цилиндра создает силу, действующую на цилиндр в направлении, перпендикулярном к направлению потока, и называемую поэтому поперечной силой. На единицу длины оси цилиндра эта сила равна, как и при циркуляции вокруг крыла, pTV. Такая же сила возникает и при набегании потока на трехгранную или четырехгранную призму, вращающуюся вокруг продольной оси, на вращающийся шар и т. д. Направлена поперечная сила всегда к той стороне вращающегося тела, на которой направление вращения и направление потока совпадают. Возникновение при указанных условиях поперечной силы называется, по имени ученого Магнуса (Magnus), впервые открывшего (в 1852 г.) это явление, эффектом Магнуса.

До изобретения нарезных артиллерийских орудий часто случалось, что шаровые снаряды после вылета из ствола значительно отклонялись в сторону от той траектории, по которой они должны были бы лететь. Магнус показал, что причиной такого поведения снаряда служило вращение вокруг поперечной оси, которое шаровой снаряд получал вследствие случайных причин. На основании сказанного выше это создавало условия, необходимые для возникновения поперечной силы, которая и вызывала нежелательное отклонение снаряда от намеченной траектории. Такие же боковые отклонения, часто очень значительные, наблюдаются и при полете «срезанного» мяча при игре в теннис или гольф. Несколько лет тому назад А. Флеттнер (Flettner) использовал эффект Магнуса для приведения в движение корабля энергией ветра, причем вместо парусов он установил вертикальные быстро вращающиеся цилиндры (роторы).

На концах цилиндров помещались выступающие круглые диски, так как иначе воздух, расположенный выше и ниже цилиндра, засасывался в область потока с пониженным давлением и, возмущая поток, уменьшал поперечную силу. Испытания показали техническую пригодность такого роторного корабля, но в экономическом отношении он оказался менее выгодным обычных моторных судов и поэтому не получил дальнейшего применения. Эффект Магнуса можно продемонстрировать при помощи следующего опыта. Поставим на рельсы легкую тележку с вертикальным цилиндром, приводимым во вращение маленьким электромоторчиком, и начнем обдувать этот цилиндр потоком воздуха, направленным поперек рельсов (для получения такого потока можно воспользоваться настольным вентилятором). Тележка сейчас же начнет двигаться вдоль рельсов. Устанавливая вентилятор так, чтобы поток воздуха набегал на цилиндр под непрямым углом к направлению рельсов, можно исследовать движение цилиндра-паруса на разных курсах. Можно даже заставить тележку катиться против ветра под острым углом. При перемене направления вращения цилиндра тележка катится в обратную сторону.

Можно произвести также следующий опыт. Приведем в быстрое вращение легкий цилиндр, расположив при этом его ось горизонтально, и предоставим цилиндру падать. Мы увидим, что вместо того, чтобы упасть вертикально вниз, цилиндр начнет планировать по довольно пологой траектории. При таком движении на цилиндр, кроме подъемной (поперечной) силы А, перпендикулярной к направлению движения, действует еще сопротивление W, направленное против движения, которое, однако, в случае длинного и узкого цилиндра и при наличии боковых дисков значительно меньше, чем подъемная сила. Равнодействующая этих обеих сил уравновешивает вес цилиндра и тем самым замедляет его падение.